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零是一個非常有趣的數,他表示「沒有」或「空無」,但是似乎又無所不有,非常豐富。這種矛盾的雙重性格,恰好構成零的魅力。

從數系或坐標系的整體眼光來看,零代表坐標原點,是天地的中心。

任何數加零或減零還是等於該數,即「加之不增,減之無傷」。這表示零是「空無」,表現零的謙虛、客氣、不動人一根汗毛的一面。但是對於乘法,零就顯得專橫霸道、自我中心:任何數乘以零等於零。因此,零簡直是集「謙虛與霸道」於一身。另外,把零加在一個數後面就放大了10倍,例如3就變成30。最後再看除法,零惹來了麻煩:零不能當除數,一除就爆炸!

從因數與倍數的光來看,任何數都是零的因數,零是任何數的倍數。因此,零似乎是無所不有,豐富得很。

溫度是零度並不是沒有溫度,海拔零公尺也不是沒有高度。零星、零嘴、零碎、零件、零用錢......都是有,而不是沒有。此時,「零」用來表示「有而少」之意。至於「零丁洋裡嘆零丁」的零是詩人對身世孤獨寂寞的感嘆。

具有大小與方向的量叫做向量。零向量沒有大小,但是所有的方向都是它的方向(即無向)。這啟示我們:在一方面放棄所有的東西,會從另一方面得到所有的東西,
「失之東隅,收之桑榆」,空無才能容納萬有。零真有趣!

我們在施展配方法或式子的化簡工作時,常常加一個數再減去該數,這就是請零出來幫助我們完成工作。空無的零能夠成就事功,真奇妙!

耶穌誕生之年被選定為西元之始。由於當時的天文學家害怕零,於是從西元一年開始算起,這給後世的我們惹來了麻煩:西元2000年的開始並不是21世紀,2001年之始才是21世紀!若從0算起就不會有這個困擾。

但是從0算起,偶爾也會鬧笑話。我們舉波蘭數學家Sierpinski的故事:Sierpinski憂心丟失一件行李,他的太太說:「不會的,親愛的,六件行李都在這裡。」Sierpinski說:「這不能是真的,因為我已經點算過許多次:0、1、2、3、4、5。」   

另外,0生出3與-3,生出π與-π......等等。老子說:「道生一,一生二,二生三,三生萬物」,那麼空無、空集、零就是「道」,「道可道非常道」。0與1這兩個數字就可以生出所有的數。

有零就有數,「有數就有美」(Where there is number, there is beauty.)畢氏學派的名言:「萬有皆整數。」零更是數中之精,數中之美。

零還有兩個親兄弟--無窮小與無窮大(至大無外,謂之大一;至小無內,謂之小一)。他們具有偉大能力,可以幫忙建立微積分。

微分與積分合起來,叫做微積分。微積分是整個近代科學與工藝的基礎。我們可以說,牛頓與萊布尼茲發明微積分,才導致十七世紀的科學革命。

英國詩人Alexander Pope(1721-1744)稱讚牛頓說:

Nature and Nature's Laws lay hid in Night:
God said, Let Newton be! and all was Light.

自然和自然的定律隱藏在黑夜:
上帝說,讓牛頓出現!一切將大放光明。

無窮小不等於零並且要多小就有多小,簡直就像活生生的小精靈。要多小就有多小的實數必為零。因此,無窮小有時候等於零,有時候又不等於零,具有雙重矛盾的性格,它不生存在實數系,而生存於「無何有之鄉」(Never Never Land)。

在文獻上可以看到「咬自己尾巴的蛇之徒」(ouroboros),在古代它象徵著自己吃自己的不可能與生死交會的矛盾,在邏輯上代表「繞圈子」(vicious circle)的毛病。今日則象徵粒子物理學與宇宙論的會合。從日常生活的世界出發,有兩個方向可走:微小世界與大宇宙。由物質到分子、原子,再到基本粒子、夸克、超弦,經過無窮步驟最後到達無窮小、零、空無。我們越往微小世界走,越了解大宇宙的事情。核子物理學告訴我們星星如何發光;粒子物理學告訴我們,當宇宙年輕且熾熱燃燒時,它像個什麼樣子。相當有「芥子納須彌」,大千世界在一微塵中的意味。

反過來,對星空的觀察,可以幫助我們形塑基本粒子的理論。蛇咬自己的尾巴,形成一個圓,象徵空無與無窮的的合一,宇宙的無始無終,以及所有自然的統一。將圓扭轉一下,稍作變形,就成為∞,這就是數學符號的無窮。

為一個數立傳,目前出版的書有e、圓周率π、黃金分割數,虛數i


作者引略特(T.S.Eliot)的名詩〈空心人〉中的一句話,作為這一章的開始:

This is the way the world ends.
Not with a bang but a whimper.


他的結論是:因為零的威力,宇宙將會冷死,而不是熱死;是冰而不是火,將讓宇宙毀滅。

總之,如果你觀看零,你將看到空無;但如果你穿透它,你將會看到整個世界。

一個有趣的對照:蘇格拉底強調,理性的認識必須從「無知」開始,這就好像上帝從「空無」中創造萬物。

宇宙始於零並且止於零,從空無到空無,「空即是色,色即是空」,這多麼富藏玄機與禪機。


---《零的故事》專文推薦序(節錄)。台大數學系蔡聰明教授


  

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